【正文】

高考是我国现行的一种最为重要的选拔性考试，其重要性是不言而喻的，高考试题设计新颖，构思巧妙，集中体现了命题专家的智慧，是我们学习的典范。研究高考试题，探求试题的解法、试题的拓展、试题的导向等对提升高三复习备考的针对性有着重要的意义。本文通过对2015年高考全国卷（Ⅱ）理科第20题的另解、推广，谈点对一些经典老题的教学处理。

一、试题

（2015年全国高考理科卷（Ⅱ）20题）已知椭圆，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。

（Ⅰ）解析，设，向量， 

则。

于是，

分别代入椭圆方程，得

    

    

两式相减，整理得

 

进而，得   ①

于是直线OM的斜率k_OM=，直线l的斜率k=，即

所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值。

（Ⅱ）因为l过点，所以

，即

    

    

由此得     ②

联立①、②  

             

 

解得。

由①得点P的坐标为

将点P的坐标代入椭圆方程，得

，，即

四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平行，即

于是，解得

，。

因为，，，所以当l的斜率为或时，四边形OAPB为平行四边形。

二、推广

已知椭圆 ，直线l不过点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.。

（Ⅰ）证明：直线OM的斜率与的斜率的乘积为。

（Ⅱ）若l过点，延长线段OM与C交于P，则四边形OAPB为平行四边形。

三、启示

高三复习课中，教师经常会选择一些经典老题作为例题，解法方面往往追求“通性通法”，因为是老题，教师总是凭经验，在思维定势下，以为“此类题必定是如此解答的”。

事实上，因为课程内容的调整，我们的教学内容也发生了变化，如微积分、向量进入了全国高中教材，于是，我们手中可供使用的“工具”更多了，我们解题也要与时俱进，不能沉迷于以往的“通性通法”中，突破思维定势，也许我们可以找到更具启发性的“通法”，从对高考题的另解可见，我们突破处理“中点弦问题”的传统方法，利用向量工具，得到了更富有启发性的解法，较好地解决了高考题。

 

 

参考文献：

1.     于志华.补“点差法”之短，扬“向量法”之长[j]，《数学教学》2013（5）.