【正文】 

向量是有向线段，是直线的一部分，在我们中职数学中，虽说本章不难，但是也是重要的一章，在技能高考占有一席之地，它常常和初中的四边形、相似三角形、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组以及乘法公式都有着密切的联系

一：向量平行和垂直的条件在直线中的应用

在向量 =(x₁,y₁ )   =（x₂ ,y₂ ）中,若则x₁ y₂ –x₂ y₁ =0

若⊥,则x₁ x₂ +y₁ y₂=0

例1：若A（2，1） B（-3，6） C(5,m)三点共线，求实数m的值

析：因为三点共线，所以任意两点所构成的直线的斜率相等

解法一：k_AB =1，k_AC =   ∵A、B、C三点共线  ∴k_AB = k_AC

   ∴＝－1   ∴m=－2

析：因为A、B、C三点共线，所以∥，根据向量平行的条件可求出m的值

解法二：     ∵=（-5，5）   =(3,m-1)

             ∴-5(m-1)-15=0

            ∴m=-2

通过这个题目，可以看出可以将直线的问题用向量的知识来解决，也很方便。

对于两直线l₁：A₁X+B₁Y+C₁=0,   l₂ : A₂X+B₂Y+C₂=0中，

(1)若它们的斜率都存在，则K_l1=－, K_l2=－， 如果两直线平行，则=即A₁B_2－A₂B₁=0，显然当两条直线的斜率不存在时，此时B₁=B₂=0 时，这个关系式也成立，

（2）若它们的斜率都存在，则K_l1=－, K_l2=－，  如果两直线垂直，则×＝－1，此时A₁A₂+B₁B₂=0显然当其中一条直线的斜率不存在时，另一条直线的斜率为0,此时如果B₁=0，则A₂=0 时，这个关系式也成立，为了便于记忆，我们在这里可把x、y前面的系数看做一个向量的两坐标，则l₁的坐标可表示为（A₁,B₁）, l₂的坐标可表示为（A₂，B₂）

若l₁∥l₂ => A₁B_2－A₂B₁=0

若l₁⊥l₂ => A₁A₂+B₁B₂=0

这就将中职数学中没有涉及到的直线平行、垂直时系数间的关系与向量平行、垂直时的坐标之间的关系保持一致，便于记忆

例2：已知直线l₁ ：（m+2）x+my-3=0,与直线l₂ :5x-(m+2)y+6=0互相垂直，求m的值

析：在这里我们可把x、y前面的系数看做一个向量的两坐标，则l₁的坐标可表示为（m+2,m）, l₂的坐标可表示为（5，-m-2）

∵l₁⊥l₂

∴5(m+2)-m(m+2)=0

∴(m+2)(5-m)=0

∴m=-2或m=5

这种方法比直接求斜率，然后利用斜率之积为-1，来求得更加简便，同时也包含了两直线中斜率不存在在情况，避免了分类讨论，因此，我总结了这样的结论，

对于两直线l₁ :A₁ x+B₁y+C₁=0

           l_2::A₂x+B₂y+C₂=0

        若l₁∥l₂  则有A₁ B_2—A₂ B₁=0

        若l₁⊥l_2，则有:A₁ A₂+ B₁ B₂=0

因此，以后遇到了直线方程中x、y前面的系数带字母的情况，利用上面结论，将大大降低计算量，又不会出现漏根的情况

二、向量与四边形的联系

向量是既有大小也有方向的有向线段，因此在四边形中只要有一组对边所在的向量相等，就可以证明此四边形是平行四边形，如果再能证明一组邻边向量的数量积为0或者对角线所在的向量的模相等，就可以得到此四边形是矩形；如果在平行四边形的基础上能证明有一组邻边向量的模相等或者对角线所在的向量的数量积为0，,就可得到此四边形是菱形

例3：求证：A(1,0)  B(5,-2)  C(8,4)  D(4,6)为顶点的四边形是一个矩形

析:先证四边形ABCD是平行四边形，用向量证非常方便，即只需要证明一组对边所在的向量相等，再证一组邻边的数量积为0

解： ∵ =(3，6) =(3，6)  ，则=，∴ADBC，且AD=BC,

∴四边形ABCD是平行四边形，又∵ =（4，-2）

∴  · = 3×4＋6×（-2）=0，∴∠ABC=90° 所以四边形ABCD是矩形

析：此题也可以用直线平行、垂直时斜率之间的关系来证明

解法二：  ∵k_AB = －  k_CD=－ k_AD=2  K_BC=2

∴k_AB= k_CD   k_AD = K_BC

∴AB∥CD    ADBC    ∴四边形ABCD是平行四边形

又∵k_AB ×k_BC=－×2=－1   ∴∠ABC=90°   ∴四边形ABCD是矩形

例4：已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则 ·=(       )

                

析：因为菱形的每一条对角线平分一组对角，所以 与的夹角为30°，|=a,但是不知道|的值，所以连接AC交BD于点O，则DO=a· cos30°=a, 所以|=a,所以 ·=a×a×cos30°=

三、向量与方程组的联系

例5：已知向量a=(1,2)  b=(2.-3), 若向量c满足（c+a）∥b,  c⊥(a+b),求c的坐标

析：设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2)   a+b=(3,-1) 则由向量平行、垂直的坐标关系有

          

即解得

        ∴c=（）

四、向量与相似三角形的关系

例6：如图二，已知六边形 ABCDEF为正六边形，且=a, =b,分别用a、b表示

析：设BD与AC交于点O,连接AD，由正六边形的特殊性，知BC∥AD,则△BOC∽△COD则===  ∴==a  =－ =－b  =+=a－b

又∵=    ∴=a－b

五．向量与一元二次方程的联系

  例7：平面向量=(1,x)  =(2x+3,-x)  若⊥,求x的值

析：由向量垂直的关系可得：1×（2x+3）－x²  =0,解得x=3  或x=－1

六、向量与乘法公式的联系

( a+b)² =a² +2a·b+b²=|a|²+2|a|×|b|×+|b|²

(a+b) ·(a-b)=a²－b²=|a|²－|b|²

例8：已知|a|=4,|b|=2,，且向量a与b的夹角为120°，求|2a-b|

析：（2a-b）² =4a²-4a·b+b²=4|a|²-4|a|×|b|×cos120°

=4×16－4×4×2×（－）=80     ∴|2a-b|=4

二、直线与三角的相通之处

例9：若角α的终边在直线y=x上，则的值为（    ）

A、      B、-       C、±      D、±      

析:在这个题目中，已知直线方程，我们发现它是过原点分布在一、三象限的一条直线，常规方法是，在角的终边上取一点，根据点的坐标和三角函数的定义来求；当然

我们也可以求出直线的斜率k=，而k=，所以实质上已知=，求的值，即可求出=± ，

解法一：当角的终边在第一象限时，任取一点（1，），则r=2,=

        当角的终边在第三象限时，任取一点（－1，），则r=2,=

 所以正确的答案选择C

解法二：由题意知，直线的斜率k=，而k=，所以实质上已知=，即=   又∵sin²+cos²=1,

                 ∴3 cos² +cos²=1

∴4cos²=1

∴cos =±

∴=

这样做避免了分类讨论的麻烦，又避免了漏根，我认为这种方法很好,当然第一种方法容易计算一些。