【正文】

        教材是由最权威的专家、学者反复打磨、精雕细刻编写而成，但智者千虑偶有一失，金无足赤，玉有瑕疵．笔者在多年的教学过程中，发现人教版高中数学课标教科书必修3中涉及几何概型的一个引例的解答值得商榷．不当之处，敬请批评指正．
        1  再现"转盘问题"
        人教版高中数学课标教科书必修3（以下简称文[1]）为了引出几何概型定义及计算公式，教科书（文[1]）在第135页中借助一个趣味案例（以下简称"转盘问题"）：
        转盘问题：如图1所示，有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏．规定当指针指向 区域时，甲获胜，否则乙获胜．在两种情况下，分别求甲获胜的概率是多少？
        教科书（文[1]）在第135-136页指出："显然，以转盘（1）为游戏工具时，甲获胜概率为 ■；以转盘（2）为游戏工具时，甲获胜概率为■ ．事实上，甲获胜的概率与字母 所在扇形区域的圆弧的长度有关，而与字母 所在区域的位置无关，只要字母 所在扇形区域的圆弧长度不变，不管这些区域是相邻，还是不相邻，甲获胜的概率是不变的．"

 

 

 

        据此，教科书（文[1]）在第136页给出几何概型定义与计算公式：
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．在几何概型中，事件 的概率计算公式为：

                                                                        
        紧接着教科书（文[1]）在第136页继续指出（不妨称为解法1）："如果把转盘（1）中的圆周的长度设为1，则有
          

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
        2  搜索其它解法
        网上搜索也发现不少对"转盘问题"的解答，绝大部分教师对于上述"转盘问题"不仅照搬了教科书中的解法（即解法1），同时还给出了另外两种解法（以下简称解法2、解法3）：
    

 

 

 

        3   质疑几何区域
        显然，上说解法1将几何区域看作弧长；解法2将几何区域看作扇形面积；解法3将几何区域看作角度．仅从结果看，上述三种解法结果确实一致，但笔者认为上述"转盘问题"的"几何区域"既不是"弧长"，也不是扇形面积，而是圆盘旋转而形成的"角度"．换句话说，教科书（文[1]）观点（即解法1）并不完美，解法2也有瑕疵，解法3才是正确的．正如教科书（文[1]）首页"主编寄语"中指出："数学是清楚的．清楚的前提，清楚的推理，得出清楚的结论．数学中的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的含糊．"
        对于一个具体的几何概型来说，由于所做试验是确定的，因此其"几何区域"是唯一且明确的，那么上述"转盘问题"中的几何区域到底是指什么呢？为何上述解法1、解法2与解法3的结果确实一致呢？
        事实上，上述"转盘问题"中的圆盘边界是一个"标准"的圆周，我们知道在同圆或等圆中弧长之比等于角度之比、同圆或等圆中扇形面积之比也等于角度之比，从而导致弧长之比、面积之比及角度之比均相等，这就是为何解法1、解法2与解法3的结果一致的原因．
        我们不妨假设这个圆盘边界不是"标准"的，而是"残缺不齐"的，如图2所示．显然，"残缺不齐"的圆周边界，根本不影响甲获胜的概率．不难得到此时弧长之比、面积之比不一定等于角度之比．这足以说明上述"转盘问题"中"角度之比、弧长之比及面积之比均相等"是偶然的，是在圆盘边界"标准"状态下所得到，当圆盘边界"残缺不齐"时未必相等，而且随着"残缺不齐"的边界变化时，其曲线长度之比、图形面积之比也在不断地变化．

 

 

 

 

        有趣的是，我们还可以大胆设想：当边界是"开放式"，即没有边界时，如图3所示，那么根本不存在所谓的曲线长度与图形面积！

 

 

        这就要求我们必须明确回答上述案例中所涉及的"几何区域"到底是什么？"几何区域"是几何概型这一概念的核心，是不可回避的焦点．其实，不论圆盘边界是"标准"状态还是"残缺不齐"，其指针都是均匀分布在圆盘中的每一个位置，并且这里所说的"均匀"是指"角度"等可能性，因此，从几何区域本质看，笔者有足够理由断定上述"转盘问题"中甲获胜概率应该是角度之比，而不是弧长之比，也不是面积之比．
        4  寻觅理论支撑
        笔者带着疑惑，查阅与教科书（文[1]）相配套的教师教学用书（文[2]）．文[2]在第116页指出："几何概型是新增加的内容，介绍几何概型主要是为了更广泛地满足随机模拟的需要，但是对几何概型的要求仅限于初步体会几何概率的意义，所以教科书中选例题都是比较简单的．"由此不难看出，教科书（文[1]）仅仅只是对几何概型作了简单介绍而已，并没有深度论述．也许正是因为这样，一线教师在讲授几何概型时，照本宣科，未能触及几何概型中最为关键的几何区域问题，而是无休止地、反复地、机械地强化训练，以做题替代理解概念，其结果是学生越做越糊涂，越做心里越慌张，最后连几何概型的基本概念都不清楚．毋容置疑，这是目前我国中学数学概念教学的一个典型缩影．
        目前我国高中数学教材中有不少概念是高等数学知识的"下放"．囿于学生知识结构与认知水平，有些概念只是大学数学完整系统中的一个片段与缩影，个别概念甚至似"从天而降"．比如在提炼定积分概念时，为了描述分割越来越细，临时借用数列极限的概念与符号；在归纳函数零点存在定理时，突然冒出"函数图象连续不断"，等等．同样的道理，几何概型中的"几何区域"其实也是如此．这就要求中学一线教师对有些高等数学知识（尤其核心概念）也应该有所了解，必要时应该熟练掌握，以寻求理论支撑．
        其实，大学概率论中对几何概型的论述较为完整、丰富、详实，值得中学教师很好借鉴．文[3]是这样论述基本事件："随机试验的结果称为样本点，样本点的全体构成样本空间．由样本空间的一些子集构成的区域称为事件域，其中的元素称为事件．"通俗地讲，随机试验的每一个可能结果都称为一个基本事件．基本事件是相对于所做的随机试验而言，没有独立于随机试验之外而独立存在的基本事件，离开随机试验的基本事件没有意义，也没有价值．正是因为所做的随机试验中，每一个可能结果都视为基本事件，因此基本事件具有不可再分性，当然就是最小的"单位"，这一定义与前面文[1]的论述相吻合．文[3]中所涉及的"样本空间的一些子集"正是从集合论的观点出发，运用熟知的集合论中的知识来描述基本事件，从而引出"几何测度"，并得出几何概型的概率计算公式：
 

        事实上，上述公式①与公式②本质是一致的，只是公式②站在测度论的高度阐述，更加合情合理，更加严谨规范．由此也说明公式①的"几何区域"就是公式②中的几何测度．
        5  始发性是关键
        长期以来，人们普遍关心基本事件的有限性、无限性与等可能性．有限性与无限性是古典概型与几何概型的分水岭，等可能性是直接利用古典概型或几何概型的概率计算公式的依据．基本事件还需满足互异性，从集合观点，任何两个基本事件的交集是空集，因而基本事件是"最小单位"，不可再分．其实，决定几何概型中"几何区域"即"几何测度"的依据关键在于明确试验做什么？是由什么引发的？也就是特别关注基本事件始发性，这才是基本事件的真正内涵，弄清始发性才是解决几何概型中"几何区域"的核心．
其实，精准判断基本事件的个数是有限还是无限，也要依据始发性．比如在区间 上任取一个实数……，其始发性是在指定区间取一个实数，实数当然有无数多个，因而其基本事件有无限多个，那么就属于几何概型，其几何测度就是区间长度；倘若在区间 上任取一个整数……，其始发性则是在一个指定的有限区间上取一个整数，整数当然是有限的，因而其基本事件是有限的，那么就属于古典概型，其几何测度就是整数的个数．
        决定"几何区域"即"几何测度"是长度、弧长、角度，还是面积、体积，其核心因素是依据试验的最原始出发点，即始发性，这是不少学生、教师乃至不少著作、文章对几何概型中"几何区域"模糊不清、举棋不定、拿捏不准的真正原因．正如章建跃等专家在文[4]忧心忡忡地警示："通过调查研究以及收集的数据统计结果表明，纵使是处于金字塔顶部的重点高中数学教师，他们的概率统计知识储备严重不足，80%以上的教师对大部分概率统计基本概念的认识都处于模糊状态，理解深度不够，缺乏用这些概念答疑解惑的能力，影响概率统计知识的教学效果．"在此，建议教科书再版时，将上述"转盘问题"中的解法1换成解法3，这样更科学、更严谨．
         "三个臭皮鞋能顶一个诸葛亮"．相信天天抱着教材的一线教师将教学中发现的问题及时反馈给教科书编写专家，必将逐步完善我国的高中数学教科书．
        参考文献：
        [1]中华人民共和国教育部．普通高中课程标准实验教科书数学3（必修． 版）[M]．北京：人民教育出版社，2007．
        [2]中华人民共和国教育部．普通高中课程标准实验教科书数学3（必修． 版）教师教学用书[M]．北京：人民教育出版社，2007．
        [3]复旦大学．概率论[M]．北京：高等教育出版社，1979：127．
        [4]李勇，章建跃，张淑梅，刘文慧．全国重点高中数学教师概率统计知识储备现状调查[J]．数学通报，2016（9）：1-9．
        作者简介:王淼生，男，1966年，高级教师，数学学科带头人，奥林匹克高级教练，厦门市专家型教师，厦门市杰出教师.
        本文系全国教育科学"十二五"规划2015年度单位资助教育部规划课题"基于数学教学内容知识（MPCK）视角下的概念教学案例研究"（课题批准号FHB150464）研究成果.