【正文】

【摘 要】在小学数学教材中，很多问题都蕴含着丰富的微积分思想，教师应该了解这种思想方法，以站在更高的观点看待小学数学的课程内容，同时在教学中进行思想渗透，为学生后继的数学学习奠定基础。本文通过举例的方式，介绍了运动的思想在解决面积问题中的应用。 

【关键词】 运动  面积  长方形  三角形  圆

中图分类号  G632                                  文献标识码  B

 

在小学阶段，求长方形、三角形、圆等几何形状的面积时，都是用静态的方式处理的。例如，求长方形面积时，我们的教学方法是把边长为1的小正方形往长方形里摆，数有几个小正方形，则此长方形的面积就为几，如图1所示。

           

           

 

 

 

 

           图1                                    图2

运动的眼光是相对于静态而言的，例如，可以把长方形看作是一条线段沿着垂直于这条直线的方向平移得到的图形，如图2所示。这样长方形的面积就可以看成是长方形的一条边沿其邻边匀速划过的轨迹，的长度可以看成是线段运动的速度，即运动的时间，已知运动学中路程，得到，当从0到，当时，则可以用运动思想得知长方形面积。

其实在历史上，伟大数学家、物理学家牛顿就是用动态的眼光来看待几何求积问题，即点动成线、线动成面、面动成体的思想。而在小学数学教材中，很多问题都蕴含着丰富的微积分思想，这是每个小学数学教师都应该了解的思想。下面，通过几个面积问题进一步体会运动的思想。

1 三角形面积

如图3所示，中，底边垂直于，并向上运动至点。起始速度为，匀减速至速度为0，求在运动过程中所经过的路程。

解：将看作时间，看作运行的速度，由可得。

由于加速度是未知的，因而使用物体的运动速度来计算其运行的路程。

由，当时，；当时，，故         

那么                    

由此可知                                       图3

2 梯形面积

    如图4所示，梯形，下底为，上底为，高为。以垂直于、指向的方向做匀减速运动。其运动时间为，速度为。求与的关系及到所经过的路程。

解：过点做边的平行线与底边交于点。

由图4可得关系式：，则，

当时，；当时，，故

平均速度       

    所以                                       图4

由此可知                    

3 圆的面积

设圆的半径为，求圆的面积公式。

 

 

 

 

 

 

 

 

      图5                          图6                            图7

解法一：旋转法 将圆看作线段旋转一圈形成的，如图5所示。

先求运动的速度。如图6所示，当所取三角形无限小时，可以将三角形近似地看成直角三角形，则

把看作时间，把面积看成路程，则有

故                          

解法二：扩散法  将圆看成由一个点不断扩散而成的图形，如图7所示。

设周长为，半径为，把周长看成速度，把半径看成时间，则

当时，；当时，，故

平均速度                            

需要说明的是，求圆的面积，还有很多方法，可以让学生自己尝试探索。

  

参考文献：

[1] 郜舒竹，为教师的微积分［M］．北京：首都师范大学出版社，2012.07

[2] 数学［M］．北京: 人民教育出版社，2008．