【正文】        摘   要：分类思想方法是研究与解决数学问题的重要思想之一,在中学数学应用中十分广泛。特别在近几年的高考试题中都把分类探讨思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置。本文从分类探讨思想的原理、原则、分类探讨思想的步骤及应用环境出发，辅以一定例题，着重分析讨论了分类探讨思想在中学数学中应用的一般原则，方法、技巧及应用环境。
        关键词：思想，原则，步骤、解法指导
　　一、分类探讨思想方法的原理及作用：
        在研究与解决数学问题时，如果问题不能以统一的同一种方法处理或同一种形式表述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系又有区别的部分，然后逐类进行探讨，再把这几类的结论汇总，从而得出问题的答案，这种研究解决问题的思想方法就是分类探讨的思想方法。其实质是一种逻辑划分的思想。从思维策略上看，就是把数学问题中的各种限制条件的制约及变动因素的影响而采取的化整为零、各个突破的解题手段。通过正确的分类探讨可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答，做到正确的分类，必须遵循一定的原则，以保证分类科学、统一，不重复、不遗漏，并力求最简。
        二、分类探讨的原则
        从某种意义上讲，分类探讨是不得已而为之的事情，通过协调、缓和“矛盾”，达到运用知识合理解决问题的思想方法。那如何进行分类探讨呢？分类探讨必须要遵循一定的原则，才能使分类科学、严谨，从而正确、合理地解题。分类探讨原则有同一性原则、互斥性原则、层次性原则。
        1. 同一性原则
        同一性原则简言之即“不遗漏”，可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I，是I的子集，并以此分类，且A1∪A2∪…An=I，则称这种分类（A1,A2…An）符合同一性原则。比如，我们若把实数R分成正实数R+与负实数R﹣，那这种分类不符合同一性原则，因为R= R+∪R﹣∪﹛0﹜，则这种分类方法遗漏了零。在下面的例子中来讨论同一性原则的应用：
        例1：已知集合A=x｜ x2－ax+4=0，x∈R, a∈R,B=x｜ x3－5x2+2x+8=0,b∈R ,若A?勐B,求a的取值范围.
     分析：由于B=x｜ x3－5x2+2x+8=0, b∈R  =x ｜(x+1)(x－2)( x－4)=0=﹣1,2,4,且A?哿B,则集合A可能是空集、单元素集合和两个元素集合，而集合A的元素是一个一元二次方程的解集，即一元二次方程可能是无解、两个相等的解或两个不相等的实根，因此要分三类讨论,求出a的取值范围，此题研究对象是一元二次方程x2－ax+4=0的根的判别式△，分成大于零，小于零和等于零这三种情况，这种分类符合同一性原则，没有遗漏任一情况。
         2. 互斥性原则
　　由同一性原则可以看出，在分类探讨时，同一性仅仅考虑了“不遗漏”，但是对于全集I来说，A1、A2…An在满足A1∪A2∪…∪An=I的前提下，并不能保证Ai∩Aj= ?覫（i,j∈n,i≠j）,即在分类探讨中不能避免重复探讨，使探讨复杂，互斥性原则则解决了这一问题，即对于研究对象I, Ai(i=1…n)是I子集，且作为分类的标准，若Ai∩Aj= ?覫（i,j∈n,i≠j），则称这种分类符合互斥性原则，互斥性原则的重要性在下面例子中可以很明显地显露出来。
         例2：某车间有10名工人，其中4人仅会车工，3人仅会钳工，另外三人车工、钳工都会，现需选出6人完成一件工作需要车工、钳工各3人，问有多少种选派方案？
        分析：如果先考虑钳工，因为6人会钳工，故有种选法，但这时不清楚选出的钳工中有几个是车钳工都会的，因此也不清楚余下的7人中有多少人会车工，因此在选车工时，就无法确定是从7人中选,还是从6人、5人、4人中选。同样，如果先考虑车工也会遇到同样的问题，因此需对全能工人进行分类，因为有3人是全能的，故有四种不同的情况可能出现。 
         注意：相当一部分排列组合应用问题需要分类求解，而排列组合应用题中的分类，与其它章节问题中的分类不同，它不是就某个字母的取值范围不同或图形的形状、位置不同等进行的分类，而是就处理问题的不同方法去分类。本题选出的全能工人，既会车工，又会钳工，这两种情况也需分开来进行探讨，这种分类方法避免了重复出现的机会，不遗漏任一情况，一般地，互斥性原则在排列组合中应用十分广泛。
        3. 层次性原则
        如果在解决某一问题时，需要分类探讨，当确定了某一标准进行分类探讨后，问题并没有得到解决，还需要继续进行分类探讨，这时，我们称之为两个不同层次的探讨，这就是分类探讨的层次性，而分类探讨的层次性原则是指分类探讨必须按同一标准的层次进行，不同标准的不同层次的探讨不能混淆，层次性原则实质上就是要求有层次的分类探讨不错位。
        例3、解关于x的不等式：■＞1（a≠1）
　　解析：原不等式等价于：■＞0，即(a﹣1)(x﹣■(x﹣2)＞0
　　点拨：本题需要两级分类探讨，第一级，按开口方向分类分a＞1和a＜1，在a<1时，又需要探讨两个根2与的大小，又分为三类，即a＜0，a=0和0＜a＜1.
         由上看出：分类探讨三原则，同一性、互斥性、层次性中，同一性要求分类不遗漏，互斥性则使分类不重复，二者是分类划分的基本原则，而层次性是在解决某些问题时，按同一标准一次分类，尚不能完全达到目的，而要求再次分类时必须掌握的原则。层次性是在同一性、互斥性的基础上的分类原则。
        【小结】：  总而言之, 分类探讨思想方法既是一种思想, 又是一种策略, 还是一种方法, 它广泛应用于中学数学的解题中。它的本质是逻辑划分, 可以用集合的观点依据同一性、互斥性、层次性正确分类, 并依据一定步骤合理地进行分类探讨,  分类探讨的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技巧，对学生能力的考查有着重要的作用。
        参考文献：
        1.陈光立主编：《最新高中数学应用开放题大全》,第一版,吉林教育出版社,2004年5月
        2.杭州大学数学系 《中学数学习题》,第一版,内蒙古人民出版社,1981年
        3.吕凤祥主编    《中学数学解题方法》,哈尔滨工业大学出版社,2003年